回答第二个问题：给定两点 AB，求从 A 到 B 的欧拉变换。
首先，这种描述是不合理的。它应该是 a 和 b 向量，描述两个方向。然后假设它在右手坐标系中，这样方便描述。
首先找到aXb，也就是同时垂直于a和b的向量，这显然是旋转轴。然后找到a•b=cos θ，这显然描述了旋转的角度。这将问题变成“围绕任何轴旋转一个角度”。
解决这个问题的常见方法是先变换成以旋转轴为坐标轴的坐标系，然后绕旋转轴旋转，最后变换回原来的坐标系。
这里涉及到三个问题：一是以旋转轴为坐标轴如何得到一个坐标系，二是如何变换到这个坐标系游戏动态，又如何变换回来，三是如何绕着坐标旋转。坐标轴。问题3这里就不展开了，因为如果你知道欧拉角是什么，你就必须知道如何绕坐标轴旋转。
一、找一个以旋转轴为坐标轴的坐标系
常说坐标轴的本质是一组正交基，也就是说，只要三个向量相互正交（垂直），那么这三个向量就构成了一组坐标轴（注：其实不是正交基坐标轴，但是那样的话不方便绕坐标轴随便旋转）。所以问题变成了“如何找到两个相互垂直且都垂直于旋转轴的向量”。并且注意，如果已经有两个向量，那么可以直接交叉相乘得到第三个向量。因此，问题进一步简化为“如何方便快捷地找到垂直于当前向量的向量”。这个问题研究了很多
设旋转轴为u=(x,y,z)，目标向量v=(x',y',z')，因为u和v互相垂直，所以u·v=xx'+yy '+zz' =0 。请注意，x、y、z 都是已知量，因此这是一个具有三个未知数的方程。当然，它没有唯一的解决方案，但没关系，我们的目标只是找到一个可行的解决方案。
总而言之，对于任何 u，我们都可以找到垂直于它的 av。然后求两者的叉积得到一个正交基，然后我们就得想办法变换到这个正交基上。
二、将a和b向量转换为以旋转轴为坐标轴的坐标系
首先有个理解，我们平时描述向量的时候，其实是有一个标准正交基的，比如vector(3,2,1)，其实就是简写unity 欧拉角旋转，应该写成(3, 2,1)=3i+2j+1k，其中i,j,k是我们平时使用的正交基，是三个相互正交的向量。要将(3,2,1)转化为问题在一个新的标准正交基下u,v,w其实就是求解这个方程3i+2j+1k=xu+yv+zw。我们把它变成矩阵乘法的形式：(i,j,k)\left ( \begin {matrix}3\\2\\1\end{matrix}\right) =(u,v,w)\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right) ,请注意，(i,j,k) 实际上是一个 3x3 矩阵游戏动态，而不是行向量。
因为 u, v, w 是相互正交的向量，如果我们再有一个条件，假设 u, v, w 都是单位向量（这很容易做到，只需将其归一化即可），那么 (u, v, w ) 是一个正交矩阵。正交矩阵的特点是它是可逆的，它的转置是它的逆。
所以上式可以转化为： (u,v,w)^T(i,j,k)\left( \begin{matrix}3\\2\\1\end{matrix}\right) =\ left( \begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)unity 欧拉角旋转，因此得到 x, y, z。
我们通常使用的i,j,k是(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))，所以上式为：\左 ( \begin{matrix}u^T\\v^T\\w^T\end{matrix}\right)\left( \begin{matrix}3\\2\\1\end{matrix}\right ) =\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right) 。
将前面提到的要变换的a和b替换为(3, 2, 1)，然后将前面得到的一组正交基带以旋转轴为坐标轴输入(u, v ,w)，得到获得的 (x, y, z) 是变换后的坐标。
结语
变换后做一个旋转，再做一个逆变换（即乘以(u,v,w)再变换回原来的(i,j,k)坐标系），就可以得到结果. 设旋转前的向量为a，旋转后的向量为b，坐标系变换的矩阵为M=(u,v,w)，旋转变换的矩阵为R，则b=MRM^{T }一个 。
最后，关于这个问题，其实用四元数来解题更方便。四元数描述旋转是直接用一个旋转轴+旋转角度来描述的，所以自然更适合“绕轴旋转一定角度”这个问题。这里就不展开了。
